Округление чисел до целых, десятых, сотых, тысячных
Задача округления чисел известна со школьной скамьи. Округление применяется для того, чтобы в результате получить числа более удобные для восприятия и дальнейших расчетов.
В результате округления получается приближенное число.
Для обозначения округления используют знак приблизительно равно ≈
Округление чисел онлайн калькулятор
Калькулятор округляет число до заданного количество значащих цифр после запятой. Введите округляемое число и нужно количество значащих цифр. В результате вы получите округленное число и все возможные варианты округления:
- до миллионов;
- до сотен тысяч;
- до десятков тысяч;
- до тысяч;
- до сотен;
- до единиц;
- до десятых;
- до сотых;
- до тысячных;
- до десятитысячных;
- до стотысячных;
- до миллионных.
Просто выберите нужный вариант округления.
Правила округления
Первое правило
Если первая из отделяемых цифр больше или равна 5, то последняя оставляемая цифра усиливается (увеличивается на единицу).
Пример: округлим до десятых число 123,456. В разряде десятых находится цифра 4, а следом за ним цифра 5. По первому правилу округления мы должны усилить разряд десятых, то есть увеличить его на единицу. Таким образом в результате округления до десятых получим 123,456 ≈ 123,5.
Второе правило
Если первая из отделяемых цифр меньше или равна 4, то последняя оставляемая цифра записывается без изменений.
Пример: округлим до сотых число 123,4523. В разряде сотых находится цифра 5, а следом за ним цифра 2. По второму правилу округления оставляем цифру в разряде сотых без изменения. Таким образом в результате округления до сотых получим 123,4523 ≈ 123,45.
Пример: округлим число π Пи (3,14) до десятых. После числа 1, которое стоит в разряде десятых идет число 4. Соответственно, по правилам округления записываем десятые без изменения. Получаем: 3,14 ≈ 3,1.
Третье правило
Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится к ближайшему четному числу. При этом последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и усиливается, если она нечетная. Такое округление называют банковским или бухгалтерским округлением. Оно отличается от математического округления.
Пример: округлим до целых число 2,5 используя математическое округление. В разряде десятых у нас находится цифра 5, значит по первому правилу округления мы усиливаем разряд единиц и получаем 2,5 ≈ 3.
Если же необходимо округлить по правилам банковского округления, то так как после 5 у нас нет значащих цифр, а 2 — число четное, то оставляем разряд единиц без изменения и получаем, что 2,5 ≈ 2. Вот такой парадокс. Имейте это ввиду при округлении чисел.
Округление десятичных дробей: правила, примеры
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно округлить десятичные дроби до разных разрядов дробной (десятых, сотых, тысячных и т.д.) и целой (единиц, десятков, сотен и т.д.) частей. Также разберем примеры для лучшего понимания и закрепления материала.
- Правила округления десятичной дроби
- Округление дробной части
- Округление до целого числа
- Особый случай: последняя цифра – ноль
Правила округления десятичной дроби
Десятичную дробь можно округлить:
- до целого числа с точностью до единиц, десятков, сотен и т.д.;
- до определенного разряда дробной части: десятых, сотых, тысячных, десятитысячных и т.д.
Но, прежде чем перейти к правилам округления, давайте еще раз вспомним, из чего состоит десятичная дробь. В качестве примера – от тысяч до десятитысячных:
Округление дробной части
Итак, чтобы выполнить округление десятичной дроби, придерживаемся следующего плана действий:
- Отмечаем разряд, до которого следует округлить дробь. Его можно отделить от следом идущих цифр разделительной линией.
- если после выбранного разряда идут цифры , 1, 2, 3 или 4, то цифру этого разряда мы оставляем той же, а все остальные цифры после линии убираем.
- если после выбранного разряда стоят цифры 5, 6, 7, 8 или 9, то к цифре этого разряда прибавляем единицу и, как в пункте выше, все цифры с правой стороны от линии убираем.
Пример 1: округлим 12,624 до десятых.
Пример 2: округлим 5,176 до сотых.
Округление до целого числа
Если десятичную дробь требуется округлить до целого числа (до единиц), смотрим на цифру, которая идет сразу же после запятой (разряд – десятые). Если это 5, 6, 7, 8 или 9, то к единицам в целой части прибавляем число 1, а всю дробную часть отбрасываем. В остальных случаях просто убираем дробную часть без каких-либо изменений целой части.
Примеры округления десятичных дробей до целого числа:
- 2,15 ≈ 2;
- 4,64 ≈ 5;
- 7,063 ≈ 7;
- 12,814 ≈ 13.
Примечание: Если дробь требуется округлить до целого числа большего разряда, чем единицы (десятки, сотни, тысячи и т.д.), отбрасываем дробную часть, затем округляем полученный результат согласно правилам округления натуральных чисел.
Пример 1: выполним округление до десятков числа 156,71:
Пример 2: выполним округление до сотен числа 8134,145:
Особый случай: последняя цифра – ноль
Если в результате округления десятичной дроби последней цифрой в дробной части остается , его нельзя убирать. Это нужно для того, чтобы наглядно было понято, до какого разряда было выполнено округление.
Примеры округления с нулем на конце
- 5,01≈ 5,0 (до десятых);
- 3,199≈ 3,20 (до сотых).
Остановимся подробнее на втором примере. Т.к. в следующем разряде после сотых стоит цифра 9, значит по правилам округления к сотым мы прибавляем единицу: 9 + 1 = 10. Следовательно, в разряде сотых мы пишем ноль, а единицу прибавляем к десятым (1 + 1 = 2).
Урок 43 Бесплатно Приближенные значения чисел. Округление чисел
Человеку постоянно приходится сталкиваться с решением различных практических и теоретических задач, которые чаще всего связаны с нахождением числовых значений величин.
Измерить какую-либо величину- это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу измерения.
В большинстве случаев полученные значения в результате вычислений и измерений получаются неточными, приближенными: немного больше или меньше истинного значения.
Точность- это степень приближения результата измерения (вычисления) к реальному значению.
Чем меньше точность, тем больше погрешность (расхождение истинного и полученного значения) и, соответственно, чем меньше погрешность, тем выше точность.
Точные измерения проблематичны в реальности по ряду причин:
- Несовершенство органов чувств человека.
- Неточность и несовершенство измерительных приборов.
- Характеристики самого измеряемого объекта, не позволяющие выполнить точные измерения и вычисления.
Так, например, невозможно точно до метра определить протяженность рек, гор, расстояние от Земли до Луны, с точностью до грамма проблематично определить массу грузовика и т.д.
Сегодня на уроке мы научимся находить приближенные значения с избытком и недостатком.
Познакомимся с правилом округления чисел до заданного разряда.
Рассмотрим несколько примеров округления чисел.
Приближенные значения чисел
В настоящее время в различные сферы жизни человека все больше внедряются современные высокоточные устройства, которые позволяют быстро и точно производить измерения и вычисления.
Однако, порой нам даже нет необходимости знать точное значение величины.
Не раз нам приходилось встречать такие фразы: «около одного часа», «примерно один килограмм» или «приблизительно двадцать тысяч рублей» и т.п.
В подобных фразах синонимы: «около», «примерно», «приблизительно» и т.д. указывают на приближенность значений величины, на чуть большее или меньшее значение относительно реального.
Например, говоря о своем возрасте, мы чаще всего называем количество лет и месяцев, не упоминая о прожитых днях и часах.
На вопрос «который час?» мы скорее всего назовем сколько часов и минут в данный промежуток времени, не указывая секунды.
Числа, с которыми нам приходится встречаться и использовать в действительности, бывают двух типов:
- Точные (в истинности которых мы не сомневаемся).
Например, говоря о том, что у треугольника 3 стороны, число 3 представляет собой точным числом.
В утверждении о том, что стул имеет 4 ножки, число 4 так же является точным.
- Приближенные (близкие к истинному значению).
На практике, измеряя расстояние, массу, температуру, объем, площадь и другие величины, мы не можем определить их точные значения, а порой эти точные значения вовсе не требуется находить.
Поэтому важно знать (заранее установить) с какой точностью необходимо выполнить измерения и вычисления, т.е. необходимо выяснить какие доли единицы измерения необходимо принять во внимание, а какими можно пренебречь.
Приближенные значения делят на:
- Приближенные значения с недостатком.
- Приближенные значения с избытком.
Рассмотрим поясняющий пример.
Обратите внимание на рисунок.
Улитка проползла некоторое расстояние и остановилась, данное расстояние обозначим как х (см).
Заметим, что улитка смогла преодолеть больше 7 см, но не смогла доползти до отметки 8 см.
Получается, что расстояние, которое проползла улитка больше 7 см, но меньше 8 см:
7 < x < 8
В данном случае число 7, 8— это приближенные значения числа х.
Путь, который проползла улитка, изображен в виде отрезка МN.
Конец отрезка MN заключен между отметками 7 см и 8 см.
Если А< x < В (число х больше числа А, но меньше числа В), то А называют приближенным значением числа х с недостатком, а число В— приближенным значением числа х с избытком.
Получаем в нашем случае 7 см- это приближенное значение длины отрезка MN с недостатком, а 8 см- это приближенное значение длины отрезка MN с избытком.
Так, если бы улитка проползла х = 6,3 см, то 6 см являлось бы приближенным значением пути улитки с недостатком, а значение 7 см было бы приближенным значением пути с избытком.
Рассмотрим пару заданий, в которых необходимо произвести оценку величины.
Задание №1.
Из предложенных чисел 2,1; 2,7; 4,1; 3,2; 2,4; 3,5 выберите те, для которых 2,3 является приближенным значением числа с недостатком, а число 3,7 является приближенным значением числа с избытком.
Для искомых чисел должно выполняться условие 2,3 < x < 3,7.
Такому условию удовлетворяют следующие десятичные дроби:
2,4 так как 2,3 < 2,4 < 3,7
2,7 так как 2,3 < 2,7 < 3,7
3,2 так как 2,3 < 3,2 < 3,7
3,5 так как 2,3 < 3,5 < 3,7
Задание №2.
Определите между какими двумя ближайшими натуральными числами расположена дробь 2,4.
К какому натуральному числу ближе заданная десятичная дробь 2,4?
С помощью координатного луча мы можем оценить расположение десятичной дроби.
Отметим на координатном луче число 2,4 (две целых четыре десятых).
Разложим заданное число по разрядам.
2,4 = 2 + 0,4
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.
Отложим два целых единичных отрезка от начала координат, получим две целых единицы.
Чтобы отметить дробь 0,4, третий единичный отрезок разделим на десять долей, каждая такая доля будет равна (mathbf
От точки с координатой 2 отложим вправо четыре доли единичного отрезка ОЕ, получим точку 2,4.
Если мы посмотрим на координатный луч, то заметим, что десятичная дробь 2,4 находится между натуральными числами 2 и 3, причем десятичная дробь 2,4 удалена от точки 2 всего на четыре доли единичного отрезка, а точка 3 удалена от точки 2,4 на шесть таких долей, следовательно, десятичная дробь 2,4 расположена ближе к натуральному числу 2.
2 < 2,4 < 3
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Математический язык использует огромное количество специальных символов и знаков, которые однозначно отражают свойства изучаемых процессов, явлений, объектов, освобождают от громоздких записей, конкретны в своей трактовке.
Одним из таких знаков является приближенное равенство.
Приближенное значение указывают с помощью специального знака.
Обозначается данный знак в виде двух волнистых линий: ≈
Знак «приближенное равенство» в 1882 г. предложил немецкий физик-математик Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер.
Запись приближенное равно читается как «приблизительно равно» или «приближенно равно».
Например, a + b ≈ c читается так: сумма a и b приближенно равна с.
Приближённые значения. Округление чисел.
Приближённые значения применяются в случаях, если невозможно вычислить точное значение или если точное значение не требуется.
Приближённые значения
Представьте, что вы смотрите на часы в комнате и они показывают два часа и две минуты. Но когда вы переходите в другую комнату, там на часах $13.59$. Какие-то из этих часов отстают или спешат… Но если вам не нужно совершенно точно указать время, то можно смело сказать, что часы показывают приблизительно два часа.
Другой пример. В интернете можно встретить информацию, что размер африканского слона около $300$ сантиметров. На самом деле есть слоны покрупнее и помельче, кто-то из них достигает почти четырёх метров, а слонихи обычно ростом $270-280$ см. И, конечно, никому не приходит в голову перемерить всех имеющихся слонов, чтобы указать их точные размеры. Вместо этого называют приблизительное или, говоря математическим языком, приближённое значение. Размеры слона округляют до $300$ сантиметров.
Правила округления натуральных чисел
Округлением натурального числа называют замену этого числа таким ближайшим по значению, у которого одна или несколько последних цифр в записи заменяется нулями.
Поэтому такой процесс и называется округление – число заканчивается на круглые нули.
Как правильно округлить натуральное число
- Выбрать в записи числа разряд, до которого производится округление (можно подчеркнуть его для удобства)
- Выделить число справа от выбранного разряда
- Если это число справа от подчёркнутой цифры $0, 1, 2, 3$ или $4$, то все цифры, включая данное число, заменить нулями, а цифру разряда, до которой округляли, оставить без изменений
- Если число справа от подчёркнутой цифры $5, 6, 7, 8$ или $9$, то также все цифры справа от подчёркнутой заменяем нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, увеличиваем на $1$
При округлении используется вот такой знак:
Давайте рассмотрим принцип округления на примере слона Гектора. Его рост $320$ см, нужно округлить до сотен.
Подчёркиваем число в разряде сотен и смотрим на следующее число (разряд десятков). Это $2$, следовательно, заменяем все цифры после разряда сотен нулями, а число сотен оставляем без изменений.
А рост слонихи Офелии $275$ см. Давайте округлим его до десятков.
Подчёркиваем число десятков, смотрим на разряд справа (единицы). Это $5$. Заменяем число единиц нулями, а цифру в разряде десятков увеличиваем на $1$.
Обратите внимание, что когда мы округляли массу слона, у нас получилось меньшее число, а когда массу слонихи – большее.
Можно сказать, что $300$ – это приближение числа $320$ с недостатком, а $280$ – это приближение числа $275$ с избытком.
Округление десятичных дробей до целых
Образавру подарили арбуз. Он решил его взвесить, но у него не было хороших весов. На тех, которые были, оказались только килограммовые деления. Вот что показали весы:
Арбуз весит больше $4$ кг, но немного меньше $5$ кг. Если обозначить массу арбуза буквой n, получается, что $4 < n < 5$
Число $4$ будет приближённым значением n с недостатком, а $5$ – приближённым значением n с избытком.
Между $4$ и $5$ нет натуральных чисел, получается, мы будем округлять дробное число либо до одного натурального числа, либо до другого.
Замену дробного числа ближайшим к нему натуральным числом или нулём называют округлением этого числа до целых.
Если у числа n цифра десятых больше $5$, то число n ближе к большему значению, чем к меньшему, и его можно округлить до целых в большую сторону (также это называется “округлить с избытком”).
Почему мы сравниваем именно с $5$?
Потому что именно $5$ десятых равно удалено и от меньшего числа, и от большего.
Позже Образавр купил другие весы, чтобы взвесить арбуз точнее, и узнал, что он весит $4.8$ кг.
Так как масса арбуза почти равна $5$, то можно сказать, что его массу можно округлить до $5$ кг.
Образавру понравилось взвешивать и округлять. Он взвесил ещё и дыню, которую купил по дороге. Оказалось, дыня весит $3.1$ кг. Если округлять до целых, то масса дыни ближе к трём килограммам, чем к четырём.
Если у числа n цифра десятых меньше $5$, то число n ближе к меньшему значению, чем к большему, и его можно округлить до целых в меньшую сторону (также это называется “округлить с недостатком”).
А что же делать, если у числа ровно $5$ десятых? Например, кот Рыжик весит ровно $6,5$ кг. Число $6,5$ равно удалено и от $6$ кг, и от $7$ кг. Если мы хотим округлить массу Рыжика до целых, то чему она будет равна?
Условились, что если цифра десятых равна $5$, то число округляется в большую сторону, с избытком.
Следовательно, массу Рыжика также нужно будет округлить с избытком, и она будет приближённо равна $7$ кг.
Округление десятичных дробей до десятых, сотых и т.д.
Числа можно округлять и до других разрядов.
Марина забыла дома линейку. В школе она свернула тетрадный листок в клеточку в несколько раз, и на получившейся полоске бумаги сделала отметины и написала цифры. Марина знала, что одна клеточка – это $0.5$ см. У неё получилась линейка.
Правда, линейка получилась не очень точная. Например, когда ей понадобилось измерить отрезок, оказалось, что делений не хватает.
Можете ли сказать, чему приближённо равен отрезок АВ?
Отрезок АВ приближённо равен $8.5$ см.
Как правильно округлить десятичную дробь
- Выбрать в записи числа разряд, до которого производится округление (можно подчеркнуть его для удобства)
- Выделить число справа от выбранного разряда
- Если это число справа от подчёркнутой цифры $0, 1, 2, 3$ или $4$, то все цифры, включая данное число, заменить нулями, а цифру разряда, до которой округляли, оставить без изменений
- Если число справа от подчёркнутой цифры $5, 6, 7, 8$ или $9$, то также все цифры справа от подчёркнутой заменяем нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, увеличиваем на $1$
- Если цифры, заменяемые нулями, находятся в дробной части (справа от запятой), то нули не записываются, а просто отбрасываются
Давайте потренируемся. Длина карандаша равна $17.72$ см. Округлите это значение до десятых.
Чтобы округлить число $17.textcolor
<7>textcolor <2>$ до десятых, нам нужно заменить все цифры после разряда десятых нулями. В нашем случае это одна цифра. Сравним эту цифру с $5. $ Следовательно, округляем число в меньшую сторону, а число десятых оставляем без изменений.
Округление дробных чисел при переводе обыкновенных дробей в десятичные
При переводе обыкновенных дробей в десятичные иногда мы сталкиваемся с ситуацией, когда дробь не может быть представлена в виде десятичной.
Например, $frac<1><6>$. Если мы разделим $1$ на $6$, калькулятор покажет вот такое число:
Известно, что дробь может быть переведена в десятичную только в том случае, если её знаменатель раскладывается на простые множители $2$ и $5. $
Получается, мы не можем представить дробь $frac<1><6>$ в виде десятичной. Мы можем только найти приближённое значение.
Например, мы можем округлить число на рисунке 5 до тысячных.
Как это можно сделать?
Выделим число, до которого нужно округлить (тысячные) и то, которое следует за ним (десятитысячные).
Посмотрим на число десятитысячных. Это $6. $
Следовательно, мы берём число тысячных и увеличиваем его на $1. $
У нас получается $0.167$
Приближённые значения приходят к нам на помощь, когда вычислить точное значение не представляется возможным. Но всё-таки в рамках школьного курса математики мы чаще имеем дело с точными цифрами, и, если есть возможность получить точный ответ, следует стараться это сделать.
